Aujourd’hui, on plonge dans un concept-clé des maths : les espaces vectoriels, et plus précisément en dimension finie 😁
Si tu es en prépa ou étudiant·e dans une filière où les maths sont au programme, cet article va t’éclairer sur tout ce que tu dois absolument maîtriser 🚀
Tu es prêt·e ? C’est parti ! 🎉
Quand on te dit « dimension », tu penses sûrement à un simple chiffre. Mais détrompe-toi ! En maths, la dimension a un sens bien plus profond 🤯
👉 La dimension d’un espace vectoriel mesure :
- À quel point l’espace est « grand »
- Combien de degrés de liberté tu as pour te « déplacer » dans cet espace
Avant d’en arriver là, passons d’abord faire un tour du côté de la notion de base d’un espace vectoriel 😉
1️⃣ Base d'un espace vectoriel
Supposons avoir \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, avec \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)
Remarque : en pratique c’est pratiquement tout le temps \(\mathbb{R}\) donc dans cet article on se contentera du cas de \(\mathbb{R}\), mais ne t’inquiètes pas pour \(\mathbb{C}\) c’est exactement la même chose ! Tu remplaces juste les \(\mathbb{R}\) par des \(\mathbb{C}\) dans les définitions et propriétés 😉
Pour comprendre ce qu’est une base, il faut retenir ces deux mots clés : libre et génératrice
Qu’est ce qu’une famille libre ?
Définition : une famille \(\mathcal{B}=(x_1,\ldots,x_n)\) est dite libre si ses éléments sont linéairement indépendants, i.e si \(\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{R}\), on a : $$\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i*x_i=0_E \Longrightarrow \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$$
Erreur fatale : fais toujours hyper attention où est ce que tu te situes ! Dans l’espace des vecteurs ? Ou celui des polynômes ? Ou encore celui des matrices ? En fonction le \(0_E\) ne sera pas le même ! Ce sera le vecteur nul ou le polynôme nul ou encore la matrice nulle ⚠
Qu’est ce qu’une famille génératrice ?
Définition : une famille \(\mathcal{B}=(x_1,\ldots,x_n)\) est dite génératrice si tout vecteur de \(E\) peut s’écrire comme une combinaison linéaire des éléments de \(\mathcal{B}\), i.e si $$\forall x\in E, \exists \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{R}, x=\lambda_1*x_1+\cdots+\lambda_n*x_n$$
Bon, et maintenant c’est quoi une base ?
Définition : une famille \(\mathcal{B}=(x_1,\ldots,x_n)\) est une base de \(E\) si tout vecteur de \(E\) s’écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des éléments de \(\mathcal{B}\), i.e si $$\forall x\in E, \exists ! \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{R}, x=\lambda_1*x_1+\cdots+\lambda_n*x_n$$
En gros, une base est une famille libre et génératrice ! 🤩
Petite remarque : les scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n \) sont appelés les coordonnées du vecteur \(x\) dans la base \(\mathcal{B}\)
2️⃣ Espace vectoriel de dimension finie
Maintenant qu’on a vu ce qu’était une base d’un espace vectoriel, on va pouvoir introduire la notion de dimension d’un espace vectoriel 🙃
Définition : la dimension d’un espace vectoriel correspond au nombre de vecteurs dans une base de cet espace
Autrement dit, si tu trouves une base \(\mathcal{B}\) d’un espace vectoriel \(E\) alors le nombre de vecteurs de \(\mathcal{B}\) est égale à la dimension de \(E\) 😌
$$\dim(E)=card(\mathcal{B})$$
On dit alors que \(E\) est de dimension finie \(n\) s’il possède une base de cardinal \(n\) 🤗
Petite astuce pratique : Si tu as \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\) alors il existe une caractérisation ultra pratique qui te permet de montrer rapidement qu‘une famille de cardinal \(n\) est une base de \(E\) !
$$ (x_1,\ldots,x_n) \text{ est une base de } E$$ $$\Longleftrightarrow (x_1,\ldots,x_n) \text{ est une famille libre de } E$$ $$\Longleftrightarrow (x_1,\ldots,x_n) \text{ est une famille génératrice de } E$$
En gros, au lieu de t’embêter à démontrer que ta famille est bien libre et génératrice, en pratique on montre souvent qu’elle est juste libre et on dit qu’elle compte bien autant de vecteur que la dimension de l’espace vectoriel 🙌
3️⃣ Espaces vectoriels à connaître par cœur
En pratique, certains espaces vectoriels reviennent tout le temps 😜
Autant les retenir pour gagner du temps en révisions et en examens !
Je vais te donner leur dimension et leur base canonique respective, et un conseil pense à bien les noter dans ta fiche de révision 😎
➡ l’espace des vecteurs \(\mathbb{R}^n\) :
- sa dimension : \(\dim(\mathbb{R}^n)=n \)
- sa base canonique : \(\{(1,0,\ldots,0);(0,1,0\ldots,0);\ldots;(0,\ldots,0,1)\}\)
➡ l’espace des polynômes (de degré au plus \(n\)) \(\mathbb{R}_n[X]\) :
- sa dimension : \(\dim(\mathbb{R}_n[X])=n+1 \)
- sa base canonique : \(\mathbb{R}_n[X] :\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}\)
➡ l’espace des matrices \(\mathcal{M}_{n*p}(\mathbb{R})\):
- sa dimension : \(\dim(\mathcal{M}_{n*p}(\mathbb{R}))=n*p\)
- sa base canonique (dans le cas de \(\mathcal{M}_{2*2}(\mathbb{R}\)) 😜) : \(\{\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0& 0 \\
\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}
0&1 \\
0& 0 \\
\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}
0 &0 \\
1& 0 \\
\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}
0 &0 \\
0& 1 \\
\end{pmatrix} \} \)
Remarque : la base canonique de \(\mathcal{M}_{n*p}(\mathbb{R})\) est assez compliqué à écrire mais je peux t’expliquer sa forme ➡ on appelle ses éléments \(E_{i,j}\), \(\forall i,j\in \{1,\ldots, n\}\) et cela correspond à la matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la \(i\)-ième ligne et \(j\)-ième colonne qui vaut 1 🤪
4️⃣ Quelques propriétés utiles
Voici les règles d’or à connaître pour maîtriser les espaces vectoriels 🔥
On commence par les règles de calculs de dimensions, qui peuvent t’être utiles dans certain cas !
Propriété : Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie et \(F\) un sous espace vectoriel de \(E\), alors \(F\) est de dimension finie et on a : $$\dim(F) \leq \dim(E)$$
Cette propriété amène à une autre qui te permet facilement de vérifier si deux espaces vectoriels sont égaux 👇
Propriété : deux espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sont égaux, i.e \(E=F\) si et seulement s’ils vérifient : $$ (E\subset F \text{ ou } F\subset E) \text{ et } (\dim(E)=\dim(F) )$$
Ensuite, je te recommande de connaître la formule qui lie dimensions et somme d’espaces vectoriels 😏
Formule de Grassmann : Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et soient \(F\) et \(G\) deux sous espaces vectoriels de \(E\). Alors on a :$$ \dim(F+G)=\dim(F) +\dim(G)-\dim(F\cap G)$$
Remarque : En particulier quand \(F\) et \(G\) sont en somme directe, alors \(\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)\)
Pour finir, même si celle-là on ne l’utilise pas tout le temps, on ne sait jamais au cas où tu as pas de chance le jour de ton examen et qu’elle tombe 😂 On n’est jamais trop préparé, surtout en algèbre linéaire 😂
Propriété : Si \(E\) et \(F\) sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors : $$\dim(E\times F)=\dim(E)+\dim(F)$$
💪 On fait un Petit Récap 💪
Et voilà, on a fait le tour des notions essentielles sur les espaces vectoriels en dimension finie ! 🚀
Voici un petit récap pour bien fixer tout ce qu’on a vu :
1️⃣ Une base est une famille de vecteurs qui est à la fois libre (aucune dépendance entre ses vecteurs) et génératrice (tous les vecteurs de l’espace s’écrivent grâce à elle)
2️⃣ La dimension d’un espace vectoriel correspond au nombre de vecteurs dans une base. C’est l’indicateur clé pour comprendre la « taille » et les degrés de liberté de l’espace
3️⃣ Les espaces vectoriels classiques comme \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}_n[X]\) ou \(\mathcal{M}_{n*p}(\mathbb{R})\) ont des dimensions et des bases canoniques qu’il faut absolument connaître !
4️⃣ Les propriétés importantes, comme la formule de Grassmann ou le lien entre dimension et sous-espaces, sont tes meilleurs alliés pour résoudre les exercices abstraits d’algèbre linéaire
En résumé, avec ces notions, tu as tout ce qu’il faut pour maîtriser les bases des espaces vectoriels et aborder la suite de tes études en mathématiques avec confiance 💪
Alors, est-ce que tout est clair pour toi ? Si tu as des questions, n’hésite pas à me les poser en commentaire ou à me partager tes difficultés ! 🙃
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À très vite pour d’autres aventures mathématiques ! 😊
