Pourquoi le Théorème du Rang est-il si crucial ?
Tu te demandes pourquoi le théorème du rang est si souvent mentionné en algèbre linéaire ? 
C’est un peu le petit chouchou des matrices et des applications linéaires !
En fait, ce théorème est une clé essentielle pour comprendre et manipuler les matrices, que ce soit pour résoudre des systèmes d’équations ou pour explorer des concepts plus avancés comme les espaces vectoriels et les applications linéaires 
Le théorème du rang est une notion incontournable en algèbre linéaire qui te permettra de naviguer avec assurance dans le monde des matrices !
Que tu sois en pleine révision pour un examen ou simplement curieux d’approfondir tes connaissances, maîtriser ce théorème te sera d’une grande aide 
Le lien entre image et noyau
Là où le théorème du rang devient vraiment passionnant, c’est qu’il établit un lien direct entre l’image et le noyau d’une matrice ou d’une application linéaire 
Ces deux concepts sont cruciaux en algèbre linéaire car ils permettent de comprendre les propriétés fondamentales des applications linéaires !
Faisons un petit rappel :
- L’image d’une matrice de taille m*n ou d’un application linéaire \(f : E \to F\) est l’ensemble image des vecteurs de l’espace vectoriel de départ
$$Im(A)= \left\{AX : X\in \mathbb{R}^{n} \right\}$$
$$Im(f)= \left\{f(x) : x\in E \right\}$$
En d’autres termes, c’est l’espace engendré par les colonnes de la matrice ou les images des vecteurs de la base de E ! - Le noyau d’une matrice de taille m*n ou d’une application linéaire \(f : E \to F\) , quant à lui, est l’ensemble de tous les vecteurs qui sont envoyés vers le vecteur nul lorsqu’ils sont multipliés par la matrice ou des vecteurs de E qui on pour image le 0 de F !
$$ Ker(A)=\left\{ X\in \mathbb{R}^{n} : AX=0_{\mathbb{R}^{n}}\right\}$$
$$ Ker(f)=\left\{ x\in E : f(x)=0_{F}\right\}$$
Le théorème du rang nous dit alors que la somme des dimensions de l’image et du noyau d’une matrice ou d’une application linéaire est égale au nombre de colonnes de cette matrice ou à la dimension de l’espace vectoriel de départ E !
Mathématiquement, cela s’exprime ainsi :
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et \(f : E \to F\) une application linéaire qui relie les deux espaces vectoriels.
Alors d’après le théorème du rang :
$$ dim(E)= dim(Im(f))+dim(Ker(f))$$
Bon à savoir : en pratique, on va utiliser la version matricielle de ce théorème avec les matrices des applications linéaires afin de les étudier 😉
Si tu as une matrice A de taille m*n, alors \n= dim(Im(A))+dim(Ker(A))\)
Je te renvoie vers mon article sur la construction de ces matrices 👉 juste ici 👈
Concrètement, comment ça marche ?
Pour bien comprendre, prenons un exemple pratique 👩🏫
Supposons que tu as la matrice suivante :
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}$$
Premièrement tu voudrais déterminer le rang de ta matrice.
Pour cela tu vas échelonner les colonnes ou les lignes de la matrice en utilisant la réduction de Gauss par exemple et tu obtiens alors cette matrice :
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
Ici, on voit qu’il nous reste seulement deux des lignes non nulles à la fin de notre échelonnement, donc on peut en conclure que le rang (ou la dimension de l’image) de la matrice A est égale à 2 🤩
Maintenant, imagine qu’on te demande de trouver la dimension du noyau !
Alors tu as deux chemins qui s’offrent à toi :
- résoudre le système \(AX=0\) afin d’obtenir une base de ton noyau et donc sa dimension
- utiliser ton nouvel allié : le théorème du rang ! Il t’évitera des calculs en plus 😂
D’après le théorème du rang, qu’on applique avec notre matrice de taille 3*3 :
$$dim(\mathbb{R}^{3})=dim(Im(A))+dim(Ker(A))$$
$$3=2+dim(Ker(A))$$
$$dim(Ker(A))=1$$
Ainsi, la dimension du noyau de notre matrice est égale à 1 🎉
Le secret bien gardé : la plupart du temps on te demandera de déterminer des ensembles Im(A) et Ker(A), i.e donner des bases du noyau et de l’image !
Souvent en première questions on te demanderas de déterminer une base du noyau avec un pivot de Gauss en résolvant le système \(AX=0\) et ensuite grâce au théorème du rang tu pourras en déduire facilement la dimension de l’image et donc une base en utilisant le fait que Im(A) est engendré par les vecteurs colonnes 😄
Applique tes nouvelles connaissances !
Maintenant que tu comprends le lien entre l’image et le noyau grâce au théorème du rang, pourquoi ne pas l’appliquer à quelques exercices pratiques ? 😏
Voici une petit défi pour toi si tu l’acceptes :
Exercice : Trouve le rang (dimension de l’image) et la dimension du noyau de la matrice suivante :
$$B=\begin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 5 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}$$
Et toi, qu’en penses-tu ? Si tu as des questions ou si un point te semble flou, écris-moi en commentaire ! Je serai ravie de t’aider et de discuter avec toi. N’hésite pas non plus à partager ton avis ou tes propres astuces sur le sujet. Hâte de te lire ! 😊👇
