Tu crois que ta fonction est dérivable ? Pas si vite !
Je suis prête à parier que tu as déjà croisé la notion de dérivabilité lors de tes cours 😜
D’un point de vue instinctif, une fonction est dérivable en un point si elle admet une “tangente bien définie en ce point”
Autrement dit, si tu zoomes assez autour du point, la courbe de ta fonction doit “ressembler” à une droite belle et toute lisse !
Mais attention, ce n’est pas parce qu’une fonction semble “lisse” à l’œil nu qu’elle est toujours dérivable !
Voyons ensemble les pièges à éviter et les astuces pour ne plus jamais te tromper sur cette notion de dérivabilité 💪
1️⃣ Les définitions
Il y a deux manières de voir la définition d’une fonction dérivable en un point \(a\)
Définition : Une fonction \(f : I \mapsto \mathbb{R}\) est dite dérivable en un point \(a\in I\) si la limite du taux d’accroissement associé existe et est finie, c’est à dire : $$\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=l\in\mathbb{R}$$
De plus, on dira qu’une fonction \(f\) est dérivable sur \(I\) si elle est dérivable en tout point \(a\in I\) 😌
L’autre possibilité, est de voir la limite du taux d’accroissement plutôt comme $$\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
Mais c’est la même définition, cette limite doit aussi exister et être finie pour que notre fonction soit dérivable en \(a\) !
D’ailleurs, quand cette limite existe et est finie, c’est exactement la valeur de la dérivée de la fonction \(f\) en \(a\), c’est-à-dire \(f'(a)\) 😉
Plus haut, on a vu que lorsque la fonction est dérivable, si l’on zoome assez autour du point, on remarque qu’elle ressemble à une “droite” !
Mais quelle est cette fameuse droite ? 🤔
Définition : Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors la droite d’équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) s’appelle la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(a\)
En gros, si tu zoomes assez fort, la tangente et la courbe représentative de \(f\) vont se confondre autour du point \(a\) 😁
2️⃣ Les fonctions pièges
Même si la plupart des fonctions que tu as dans ton lexique vont être dérivable à peu près partout, il existe des fonctions “types” qui vont toujours poser problème lorsqu’on voudra les dériver en un point de leur intervalle de définition 😫
Je te propose donc qu’on voit ensemble une liste non exhaustive de ces fonctions pièges !
D’abord, il y a les fonctions avec des “trous” que l’on appelle discontinuités. Ce sont des fonctions qui vont valoir une certaine valeur dans un endroit précis de \(\mathbb{R}\) et qui vont en valoir une autre à un autre endroit.
Par exemple, la fonction suivante n’est pas dérivable en \(1\) : $$g(x)= \begin{cases}
x-1 & \text{ si } x\leq 1 \\
(x-1)^2 & \text{ si } x>1
\end{cases}$$
Ensuite, on a les fonctions qui vont avoir des oscillations “trop violentes” comme par exemple la fonction suivante qui ne sera pas dérivable en \( 0 \) $$f(x)=x\sin(\frac{1}{x})$$
Enfin, il y a les fonctions avec des “angles” comme la fonction \( | x |\). En effet, au point d’abscisse \(0\) cette fonction ne sera pas dérivable car il y a comme une “cassure” !
Bon il y a quand même une petite subtilité 😏
Pour les deux derniers cas, même si ces fonctions ne sont pas dérivables au point demandé, elles y sont dérivables de part et d’autre de ce point 🙃 Je m’explique !
Il existe une notion de dérivabilité à droite d’un point
Définition : Une fonction \(f : I \mapsto \mathbb{R}\) est dite dérivable à droite en un point \(a\in I\) si la limite à droite du taux d’accroissement associé existe et est finie, c’est à dire : $$\lim\limits_{h\rightarrow 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=l\in\mathbb{R}$$ On notera la limite \(f’_d(a)\)
Et de même, il y a une notion de dérivabilité à gauche d’un point !
Définition : Une fonction \(f : I \mapsto \mathbb{R}\) est dite dérivable à gauche en un point \(a\in I\) si la limite à gauche du taux d’accroissement associé existe et est finie, c’est à dire : $$\lim\limits_{h\rightarrow 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=l\in\mathbb{R}$$ On notera la limite \(f’_g(a)\)
Et ces notions de dérivabilité à droite, à gauche ou de dérivabilité tout court, sont liées entre elles 😎
Propriété : On dira qu’une fonction est dérivable en un point d’abscisse \(a\) si elle est dérivable à droite et à gauche de ce point et si les limites coïncident, i.e. \(f’_d(a)=f’_g(a)\).
3️⃣ L'erreur à ne jamais commettre
Il y a un lien très fort entre continuité et dérivabilité 🔗
Cependant, beaucoup d’étudiants confondent ces deux propriétés !
Propriété fondamentale : Si une fonction \(f\) est dérivable en un point \(a\), alors cette même fonction \(f\) est continue en \(a\)
Attention ! Ce n’est pas parce que une fonction est continue en un point \(a\), qu’elle va être aussi dérivable en ce même point \(a\) !!!
Un exemple ultra classique est la fonction racine !
En effet, la fonction \(\sqrt{x}\) est continue au point d’abscisse \(0\), mais n’est pas du tout dérivable en ce point !
Pour s’en convaincre regardons la limite de son taux d’accroissement en ce point :
\begin{matrix}
\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{\sqrt{h+0}-\sqrt{0}}{h} & = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{h}}{h}\\
& = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{h}}\\
& = +\infty \\
\end{matrix}
La limite du taux d’accroissement au point d’abscisse \(0\) n’est pas finie, donc la fonction racine n’est pas dérivable en \(0\) 😢
Conclusion à retenir :
$$\mathbf{Dérivabilité} \Longrightarrow \mathbf{Continuité}$$
4️⃣ Opérations & dérivabilité
Tu sais ce qui est vraiment top avec cette notion de dérivabilité ? C’est que comme la notion de continuité, on peut faire toutes les opérations possibles et rester dérivable 🙌
Mais attention, il y a certaines opérations qui nécessitent quelques petites conditions quand même !
➡ Somme et produit : Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f,\, g \, : I\rightarrow\mathbb{R}\) dérivables sur \(I\). Alors la somme \(f+g\) et le produit \(f\cdot g\) sont dérivables elles aus:si sur \(I\), et
$$ (f+g)’=f’+g’$$
$$(f\cdot g)’=f’\cdot g + f\cdot g’$$
➡ Quotient : Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f,\, g \, : I\rightarrow\mathbb{R}\) dérivables en\(a\in I\). Si l’on a \(g(a)\neq 0\), alors la fonction quotient \(f/g\) est dérivable en \(a\), et :
$$(\frac{f}{g})’=\frac{f'(a)\cdot g(a)-f(a)\cdot g'(a)}{(g(a))^2}$$
➡ Composée : Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\) tels que \(f(I)\subset J\) , et soient\(f: I\rightarrow \mathbb{R}\) et \(g : J\rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions dérivables respectivement sur \(I\) et \(J\). Alors si \(f\) est dérivable en un point \(a\in I\) et que \(g\) est dérivable en \(f(a)\in J\), alors la fonction composée \(g\circ f\) est dérivable en \(a\), et :
$$(g\circ f)'(a)=f'(a)\cdot g'(f(a))$$
➡ Réciroque : Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), et \( f\) une fonction bijective de \(I\) dans \(f(I)\) . Si \(f\) est dérivable sur \(I\), alors sa fonction réciproque \(f^{-1}\) est elle même dérivable sur \(f(I)\), et pour tout \(b\in f(I)\) :
$$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$$
💪 On fait un Petit Récap 💪
La dérivabilité est une notion fondamentale en analyse, et comprendre ses subtilités te permettra d’éviter les pièges classiques. Ce n’est pas parce qu’une fonction est belle et continue qu’elle est forcément dérivable ! 🧐
⚠️ Toujours se poser ces trois questions :
✅ Ma fonction est-elle “lisse” en ce point ? → Pas de cassure ni d’angle ?
✅ Est-elle continue en ce point ? → Pas de saut brutal ni de trou ?
✅ Les oscillations sont-elles raisonnables ? → Pas de variations infinies à toute vitesse ?
Si tu réponds oui à ces trois questions, alors ta fonction est bien dérivable. Sinon… il faudra creuser un peu plus ! 🔎
Et toi, as-tu déjà été surpris(e) par une fonction qui n’était pas dérivable alors que tu pensais le contraire ? 🤯
💬 Dis le moi en commentaire 👇
