Si dériver c’es simplifier une fonction pour comprendre son évolution au fil du temps 📈
Alors, trouver une primitive, c’est comme remonter ce temps, pas à pas, pour reconstruire la fonction initiale !
Imagine que tu observes la trajectoire d’un avion dans le ciel : dériver, c’est analyser la vitesse et les variations, mais primitiver, c’est redécouvrir le chemin exact qu’il a parcouru pour arriver là où il est ✈
Primitiver revient à remonter le temps en maths !
C’est fascinant, non ?
Mais avant de s’amuser à remonter le temps, il faut comprendre comment cela fonction et connaître les bonnes formules 😜
Alors, prêt(e) à plonger dans cet univers captivant et maîtriser cette compétence essentielle tes examens ? 🌟
Suis-moi, je vais tout t’expliquer ! 💡
1️⃣ Les bases à savoir
Définition : Une fonction \(F\) est une primitive de la fonction \(f\) si \(F’=f\)
Propriété fondamentale : Toute fonction continue admet une primitive !
Astuce pratique : Pour vérifier si ta primitive est correcte, dérive-la et regarde si tu retrouves la fonction de départ. Simple, non ? 
Par exemple pourquoi est ce que une primitive de la fonction \(2x\) serait la fonction \(x^2\) ?
Car si je dérive la fonction \(x^2\) je retombe bien sur ma fonction \(2x\) 🙌
Comme dit plus haut : “Primitiver revient à remonter le temps en maths !”
2️⃣ Tableau des primitives usuelles
Maintenant qu’on a posé les bases, attaquons le vif du sujet les formules de primitives !
Je te présente le tableau de formules à savoir absolument par cœur pour le calcul de tes primitives 
| Fonctions | Primitives |
|---|---|
| \(k\in\mathbb{R}\) | \(k*x\) |
| \( x^n, n\in\mathbb{N} \) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\frac{1}{x^n}, n\geq 2\) | \(-\frac{1}{n-1}*\frac{1}{x^{n-1}}\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) |
| \(\exp(x)\) | \(\exp(x)\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) |
Même si c’est indispensable d’avoir tes formules de primitives usuelles en tête, il va te falloir aussi quelques astuces afin de pouvoir calculer la primitive de n’importe quelle fonction que tu rencontreras 👍
3️⃣ Des propriétés et des astuces pratiques
Maintenant que tu maîtrises les bases des primitives et que tu as ton tableau incontournable sous la main, il est temps de passer à l’étape suivante : découvrir des propriétés clés et des astuces pratiques qui vont te simplifier la vie 😏
Prêt(e) à rendre les primitives encore plus intuitives et utiles ?
C’est parti ! 🚀
Propriété : Il existe une infinité de primitives pour une même fonctions \(f\) ! Et elles ont toutes pour forme \(F+C\), avec \(C\in\mathbb{R}\)
Dailleurs, c’est pour cela que les énoncés te demanderont toujours de donner “une” primitive 😉
Astuce pratique : pour simplifier tes calculs je te conseille fortement de prendre toujours \(C=0\) !
Par contre, si l’énoncé te demande de trouver “la” primitive d’une certaine fonction qui s’annule en un certain point \(x=a\) il va falloir que tu suis cette méthode 👇
Méthode : Trouve la primitive de la fonction\(3x^2+2x\) qui s’annule en \(x=1\)
- On trouve une primitive de la fonction avec une constante \(C\in\mathbb{R}\) : ici ce serait une primitive serait la fonction \(x^3+x^2+C\)
- Tu évalues ta primitive au point cherché : ici on cherche la primitive qui s’annule en \(x=1\) donc on va évaluer \(x^3+x^2+C\) en \(x=1\), ce qui donne \(2+C\)
- Comme indiqué dans l’énoncé, tu cherches la primitive qui s’annule en \(x=1\), donc il faudra toujours, après avoir évalué au point voulu, que tu égalises ton résultat avec 0 : ici on va devoir résoudre \(2+C=0 \Leftrightarrow C=-2\)
- Conclusion : ici l’unique primitive de a fonction\(3x^2+2x\) qui s’annule en \(x=1\) est la fonction \(x^3+x^2-2\)
Propriété : Si \(F\) est une primitive de \(f\) et que \(G\) est une primitive de g, alors \(k*F+G\) est une primitive de \(k*f+g\)
Si je te traduis en français cette magnifique propriété, elle te dit que tu as le droit de primitiver terme à terme dans n’importe quelle fonction 🤩
Mélange cette propriété avec le tableau de formules des primitives usuelles et tu peux calculer une primitive de n’importe quelle fonction !
Exemple : une primitive de la fonction \(5x^3-3x+7\) est la fonction \(\frac{5}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+7x\)
4️⃣ Tableau des primitives composées
Même si déjà avec la tableau des primitives usuelles et les petites propriétés vues juste avant on est déjà pas mal armé ça serait pas drôle si les fonctions à primitiver étaient aussi sympathiques 😂
Et oui, en pratique tu auras plutôt à faire à des fonctions dites composées !
Mais ne t’inquiètes pas on a un tableau de primitives dédié rien qu’à elles 😎
| Fonctions | Primitives |
|---|---|
| \( u'*u^n, n\in\mathbb{N} \) | \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\frac{u'}{u^n}, n\geq 2\) | \(-\frac{1}{n-1}*\frac{1}{u^{n-1}}\) |
| \(\frac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) |
| \(u'*\exp(u)\) | \(\exp(u)\) |
| \(\frac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) |
| \(u'*\cos(u)\) | \(\sin(u)\) |
| \(u'*\sin(u)\) | \(-\cos(u)\) |
Petit conseil : Tu n’as pas réellement à apprendre encore un nouveau tableau de primitives 🙃 en soit ce sont les mêmes formules que dans le tableau des primitives usuelles mais avec des fonctions \(u\) !
Comme tu as pu le remarquer, afin de pouvoir appliquer ces formules de primitives de fonctions composées il faut absolument que tu aies la dérivée \(u’\) de la fonction \(u\) quelque part ! Sauf que souvent (lorsque la dérivée est une constante) elle manque à l’appel 🙄
Mais alors comment faire ?!
Astuce Pratique : Si la dérivée \(u’\), dans le cas où elle est constante, manque à l’appel on ne panique pas et on la divise devant notre primitive 😌
Exemple : On cherche une primitive de la fonction \(f(x)=\frac{3}{\sqrt{5x+1}}\)
- on reconnaît que c’est “presque” de la forme \(\frac{u’}{\sqrt{u}}\) avec (u(x)=5x+1\)
- on remarque qu’il manque la dérivée \(u'(x)=5\)
- ce n’est pas grave, on va la diviser devant notre primitive
- ce qui donne en combinant le tout : $$F(x)=3*\frac{1}{5}*2\sqrt{5x+1}=\frac{6}{5}\sqrt{5x+1}$$
5️⃣ Tableau de primitives level sup
Je sais on n’en finit jamais avec toutes ces formules 😂
Mais crois-moi, celles-ci elles vont te servir que tu sois en Fac, en prépa ou en écoles d’ingénieurs !
Elles seront partout où tu iras 😱 Je te conseilles donc d’apprendre aussi ces jolies formules de primitives niveau supérieur !
| Fonctions | Primitives |
|---|---|
| \(\frac{1}{1+x^2} \) | \(\arctan(x)\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin(x)\) |
| \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos(x)\) |
| \(sh(x)\) | \(ch(x)\) |
| \(ch(x)\) | \(sh(x)\) |
En soit il y en a encore pleins d’autres 🤯 je t’ai juste mis les fondamentales à savoir en supérieur ! Surtout la première avec arctan, celle la les profs l’adorent 😂
D’ailleurs, les mêmes formules existent aussi version fonction composées…
Un petit exemple pour le fun : Quelle est la primitive de la fonction \(f(x)=\frac{1}{4+x^2}\) ? 🤔
Voyons ça étape par étape !
- D’abord, je transforme un petit peu notre fonction \(f(x)=\frac{1}{4(1+\frac{x^2}{4})}=\frac{1}{4(1+(\frac{x}{2})^2)}\)
- Humm, ça nous fait penser à la fonction qui a pour primitive \(\arctan\) 😏
- Il manque quand même la dérivée de \(\frac{x}{2}\) qui est \(\frac{1}{2}\) ! Comme on l’a vu plus haut ce n’est pas si grave, on n’a qu’à la diviser devant notre primitive 😉
- Ainsi avec toutes nos petites astuces mise bout à bout on obtient :$$F(x)=\frac{1}{4}*\frac{1}{1/2}*\arctan(\frac{x}{2})=\frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2})$$
💪 On fait un Petit Récap 💪
Tu as maintenant toutes les cartes en main pour réussir n’importe quel calcul de primitives qu’il soit simple ou plus complexe grâce à cet article tu seras toujours t’en sortir !
Ne néglige surtout pas ces petites primitives, elles sont la bases en calculs d’intégrales 💪
Même si le calcul d’intégrales demandent parfois des méthodes plus sophistiquées, les primitives restent toujours le bouquet final dans ce genre de calcul 🎆
N’hésite pas à poser toutes tes questions dans la section commentaire juste en dessous 👇
Et quoi de mieux pour finir cet article qu’un petit challenge pour toi !
Essaye de me trouver une primitives des deux fonctions suivantes : $$f(x)=\frac{1}{x\ln(x)} \text{ et } g(x)=\frac{\ln(x)}{x}$$
Crois moi tu les verras passer durant tes exercices voir tes examens, les profs adorent les mettre 😂
N’oublie pas d’écrire ta réponse en commentaire, j’ai hâte de te lire 😎
