Aujourd’hui, je vais te parler d’un sujet souvent redouté mais crucial en mathématiques : les projections 😱
Si tu fais partie de ceux qui ont du mal à comprendre ce chapitre, ne t’inquiète pas, tu es au bon endroit.
On va voir ensemble pourquoi les projections sont importantes, comment elles fonctionnent et pourquoi tu ne devrais plus en avoir peur ! 🌟
1️⃣ Pourquoi les projections posent problème ?
Les projections, c’est un de ces chapitres fait à la va vite en fin d’année et qui semble être passé trop vite en classe 😥
Résultat ? On n’a pas le temps de vraiment comprendre et on se retrouve perdu lors des examens 😟
Tu vois de quoi je parle…
On passe rapidement sur le sujet, et hop, on doit déjà passer à autre chose !
Et quand arrive le moment fatidique de l’examen, on est souvent complètement perdu et on préfère sauter les questions dessus au risque de perdre du temps précieux 😫
Pas de panique, je suis là pour t’aider à y voir plus clair ! 💡
2️⃣ La solution : comprendre les bases
Pour ça je te propose qu’on commence par les bases avec la définition 😎
Supposons avoir deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un autre espace vectoriel E
$$ E=F \oplus G$$
Alors pour tout élément \(x\in E\) peut s’écrire de manière unique comme :
$$ x=u+v, u\in F \text{ et } v\in F$$
On définit alors la projection sur F parallèlement à G comme l’application :
$$p : F \to G, x \mapsto u$$
Bon à savoir : une telle application est appelé aussi un projecteur ! Projection ou projecteur c’est la même chose 😉
3️⃣ La suite : les propriétés fondamentales
Maintenant qu’on a posé les bases, je vais te donner les propriétés élémentaires des projections 
Elles te permettent de faire le lien entre le point de vue géométrique et le point de vue algébrique !
Crois moi elles vont te servir lors de tes examens 
Voici une petite liste non exhaustive de propriétés fondamentales sur les projections :
- \( \text{la projection est une application linéaire}\)
- \( Im(p)=F\)
- \(Ker(p)=G\)
- \(Im(p) \oplus Ker(p)=E \)
4️⃣ Ton meilleur allié : la caractérisation des projecteurs
Je pense que tu es d’accord avec moi pour dire que la définition est un peu longue à vérifier et ne donne pas trop envie en examen 😅
C’est pour ça qu’il existe des caractérisations !
Elles sont là pour te simplifier la tâche et montrer en deux lignes ce que les définitions te font montrer en quatre voire cinq lignes 😜
Crois moi les caractérisations sont tes meilleures alliées !
Afin de savoir si on est en présence d’une projection, on peut utiliser la caractérisation suivante :
$$\text{ une application linéaire } p \text{ est un projecteur } \Leftrightarrow p\circ p=p$$
Attention : ne va pas trop vite et vérifie toujours que ton application est au départ linéaire avant d’appliquer cette caractérisation !
5️⃣ Propriétés supplémentaires
Comme je sais que tu adores les maths et les projections en particulier je t’ai réservé un petit bonus rien que pour toi 🙃
Encore des propriétés !
Celles-ci ne sont pas fondamentales mais elles peuvent quand même d’être utiles si tu as besoin de switch de point de vue entre Image et Noyau 👍
- \(Ker(p)=Im(p-id)\)
- \(Im(p)=Ker(p-id)\)
- \(\text{ une projection est diagonalisable}\)
💪 On fait un Petit Récap 💪
Maintenant, tu es incollable sur les projections et les projecteurs !
Lors de tes prochains examens, tu pourras répondre à toutes les questions les concernant et t’assurer des points en plus 🎉
Et toi, qu’en penses-tu ? Si tu as des questions ou si un point te semble flou, écris-moi en commentaire ! Je serai ravie de t’aider et de discuter avec toi. N’hésite pas non plus à partager ton avis ou tes propres astuces sur le sujet. Hâte de te lire ! 😊👇
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